Engenheiros, Arquitetos, Designers, Programadores, Inventores, Curiosos..adoradores da matemática

Sabemos que na história da humanidade, os engenheiros são os fazedores de coisas, a eles damos o crédito das grandes obras. Não necessariamente só os que passam pela academia se tornam bons criadores, muitos engenheiros atualmente conseguem o seu bacharel sem aprenderam quase nada de matemática, muitos sem vocação para os cálculos, empurram o curso na velha metodologia do decoreba, esses certamente nada grandioso irão criar, faltar-lhe-ão as bases, se você é como eu que sente falta do conhecimento mais aprofundado para realizar os seus projetos, aqui é o seu lugar.

O blog foi inspirado no livro "Ensinar e estudar Matemática em Engenharia", de Jorge André.

De que Matemática particular precisam os estudantes de Engenharia? Há uma Matemática específica para engenheiros? O que tem de especial o ensino da Matemática para estudantes de Engenharia?

Não existe Engenharia sem Matemática, e a boa preparação matemática ajuda muito o futuro engenheiro de concepção, de projeto, de desenvolvimento, de inovação, de investigação.

Não se constroe e nem se cria nada sem a matemática, nem mesmo uma costureira é capaz de fazer uma roupa sem antes fazer um cálculo, embora usando uma metodologia mais simples, uma boa costureiranecessita conhecer bastante de geometria para criar um molde bem alinhado as formas do corpo proporcionando o bom caimento do tecido, é uma geometria altamente complexa que envolve cônicas, engenharia de superfícies curvas,a mesma lógica para construir um prédio, uma antena, tem que calcular, medir..claro que tem variáveis a mais como o vento, a resistência do concreto, etc..a roupa precisa apenas vestir bem. Os primeiros alfaiates certamente eram bons matemáticos, assim como os bons pintores e escultores antigos.

Você sabe qual o papel da Matemática na formação educacional de um futuro engenheiro? Poucos tem a compreensão lúcida e informada da natureza da Matemática como ciência do pensamento rigoroso, e da forma por que ela se aplica, bem como das diversas modalidades da ação

Uma das principais “forças” da Matemática está em que as suas ideias e ferramentas são gerais, e muito do poder da Matemática, mesmo da elementar, vem-lhe precisamente da aplicabilidade de ideias gerais em vários contextos diferentes.

O rigor do pensamento matemático tende a ir ao fundo de tudo, mas no ensino da Engenharia não há tempo para isso, nem a motivação dos estudantes será em geral suficiente para grandes aprofundamentos.

No livro o autor faz análises sobre a “simbiose formativa” da Matemática com a Física e a Engenharia, e sobre a capacidade de dar “saltos lógicos” como pré-requisito essencial na modelação de fenómenos naturais e na posterior aplicação prática dos resultados do respectivo tratamento matemático.

Trata-se de uma obra de reflexão crítica original e profunda sobre um tema de capital importância para o futuro da Engenharia, num país que pretende manter-se tecnologicamente atualizado e com os recursos humanos indispensáveis à sua modernização.

Os problemas diferentes exigem tipos diferentes de conhecimento e perícia em engenharia e tecnologia.

O Brasil não tem patentes, embora a população seja extremamente criativa, empreendedora, mas falta-lhe mais conhecimento lógico- matemático, a medida que avançamos na educação poderemos fazer as transformações necessárias para o desenvolvimento.

sexta-feira, 13 de maio de 2011

Geometria Plana

Estou estudando geometria plana, tenho muito material e irei postar nesse tópico dicas relevantes.
A geometria é tão útil, que tenho utilizado até para delinear a sobrancelha pois só assim posso definir a simetria perfeita e proporcional ao meu rosto.




Um pouco de História

A Geometria foi desenvolvida a partir da necessidade de medir terras, construir casas, templos e monumentos, navegar, calcular distâncias. Através dos tempos, os seus registros estão presentes nos legados de todas as civilizações: babilônios, egípcios, gregos, chineses, romanos, hindus, árabes utilizaram as formas geométricas no seu dia-a-dia.

Os conceitos, propriedades e resultados que estudamos na escola são muito antigos, começaram a adquirir a forma que os conhecemos hoje com as investigações de Tales, que viveu por volta de 600 anos antes de Cristo, ganharam força nas escolas de Pitágoras, Aristóteles e Platão, e foram organizados, pela primeira vez, por Euclides, um matemático da escola de Alexandria que viveu por volta de 300 anos antes de Cristo. 

Os Elementos de Euclides estão reunidos em treze livros, neles resultados importantes de Geometria e da Teoria dos Números estão organizados na forma axiomático-dedutiva, constituindo-se em um modelo que influenciou fortemente o conhecimento científico. Por essa razão, a Geometria que estudamos, muito freqüentemente denominada de “Geometria Euclidiana“, foi aperfeiçoada pelos sucessores de Euclides e, até o ano 500 da era cristã, já tinha sua forma atual. escreveu a maior obra da Matemática da antiguidade,

Nesse jogo fascinante, desafiador e já muito antigo, as peças são os pontos, as retas, os planos e os muitos objetos geométricos que podemos definir a partir deles. 

A régua e o compasso sempre foram os instrumentos utilizados na construção das figuras que os representam. Como tais estarão presentes em nossas atividades, sendo também possível substitui-los, nos dias de hoje, por recursos computacionais desenvolvidos para esse fim.

 As regras do jogo geométrico são dadas pelos chamados Postulados da Geometria e, a partir dessas regras, com o uso da lógica dedutiva, são provadas as proposições e os teoremas que vão estabelecendo as propriedades das figuras geométricas que utilizamos freqüentemente.

Os padrões da natureza e suas simetrias e muitos problemas práticos do nosso cotidiano podem ser traduzidos e transformados num diagrama geométrico. A análise e interpretação desse modelo trazem um melhor entendimento, novas informações ou respostas para o problema original, e constituem a rotina de trabalho quando estudamos Geometria.

O estudo dos principais tópicos de Geometria se fará em três etapas, que compreenderão a Geometria Plana, a Geometria Espacial e a Geometria Analítica.

A Geometria Plana será desenvolvida nos próximos tópicos com base em dois conceitos fundamentais, que vemos exemplificados na ilustração acima: temos uma figura geométrica que aparece repetidas vezes, em diferentes posições, ampliada ou reduzida.






A congruência é ilustrada pelos pares que diferem somente pela posição, e que podem ser superpostos; já a semelhança é exemplificada pelos pares que se relacionam por uma ampliação ou uma redução.Sobre esses dois pilares vamos construir o conhecimento geométrico necessário para o estudo da Geometria Espacial e da Geometria Analítica.


O estudo das congruências de triângulos é o primeiro passo de um estudo mais geral que nos permite desenvolver o olhar e a técnica para identificar padrões na natureza e construir figuras como as que vemos nas ilustrações.


Para construir figuras que nos auxiliem a compreender os fatos da Geometria, podemos utilizar a régua (com escala ou não), o compasso ou o transferidor.
Com o compasso podemos desenhar circunferências com raios iguais à abertura do compasso e com o centro no ponto em que o fixamos. Podemos escolher duas aberturas quaisquer e traçar circunferências com centros distintos e que se encontram, conforme a figura abaixo

A relação de congruência estudada na unidade anterior é essencial no desenvolvimento da moderna tecnologia. Como exemplo, citamos a produção em série de veículos automotores que só é possível graças a confecção de várias cópias congruentes, idênticas em tamanho e forma de seus componentes.Analogamente, a relação de “mesma forma”  tem um papel importante em nosso cotidiano.

O projeto de construção de um edifício ou de uma aeronave, por exemplo, com frequência requer a produção de modelos e maquetes em miniatura, com a mesma forma que o objeto original, permitindo obter um amplo entendimento de sua complexa estrutura.

A ampliaç ão ou redução fotográfica é outro recurso utilizado para revelar com detalhes aspectos intrincados de certas situações, como a confecção da planta de uma cidade, por exemplo. Trata-se de um processo útil, pois preserva a forma dos objetos fotografados.

Nesta unidade queremos responder a duas questões básicas. Qual o significado matemático de “mesma forma”? Que propriedades geométricas caracterizam duas figuras (entenda-se por figura um conjunto não vazio de pontos) que possuam a mesma forma?


Dicas para reforçar o estudo



TEOREMA DE TALES:Toda a paralela que intercepta outros dois lados do triângulo em pontos distintos forma outro triângulo.


Exemplo






Um obelisco de 12m de altura projeta num certo momento uma sombra de 4,8m de extensão. Calcule a distância máxima que uma pessoa de 1,80 m de altura poderá se afastar da base do obelisco, ao longo da sombra,para,em pé, continuar nela.
Resolução


1,8/12 = X/ 4,8
(divide por 12)
1,8=X/4
X= 7,2 m



O TRIÂNGULO RETÂNGULO: Todo o triângulo que é cortado pela sua altura forma dois triângulos retângulos semelhantes.



image: circle




Formas semelhantes

Valores semelhantes são idênticos na forma, mas não no tamanho.
Por exemplo, dois círculos são sempre semelhantes.
image: 2 squares
Dois quadrados são sempre semelhantes:
image: 2 rectangle
E dois retângulos podem ser semelhantes:
image: 2 rectangle
Mas provavelmente não será.

Os valores correspondentes


Olhe para essas figuras semelhantes:
Shape A: Five sided shape, from clockwise directions mesurements from top: 2cm, left-angle: 225 degrees, right-side: 4cm, bottom-left corner: 45 degrees, bottom: 5cm, left-side: 7cm. Shape B: Five sided shape, from clockwise directions lengths from top: 4cm, left-angle: 225 degrees, right-side: 8cm, bottom-left corner: 45 degrees, bottom: 10cm, left-side: 14cm.
B é uma ampliação de A. Os comprimentos dobraram, mas os ângulos permaneceram as mesmas.
Lembre-se: Para qualquer par de figuras semelhantes os lados correspondentes são na mesma proporção e ângulos correspondentes são iguais.
Olhe para o diagrama abaixo. Figuras ABCD e ABCD são semelhantes.
images: 4 sided shape: left shape: top length: corners BC:4cm, right-side: CD: corners CD: both 90 degree angles, bottom length: DA: 8cm, left-side: at an angle: AB. Right shape: top length: corners BC:6cm, right-side: CD: corners BC:4cm, right-side: CD, corners CD: both 90 degree angles, bottom length: DA: 12cm, left-side: at an angle: AB
ad over AD = 8 over 12 = 2 over 3 e bc over BC = 4 over 6 = 2 over 3
Por isso, ad over AD = bc over BC ou seja, os lados estão na mesma proporção.
Nós também podemos dizer que AD over ad = 12 over 8 = 3 over 2 e BC over bc = 6 over 4 = 3 over 2
e, portanto, AD over ad = BC over bc
Esses fatos podem ser usadas na resolução de problemas

image: two rectangles, left rectangle: top-left corner: Q, top-right: R, bottom-right: S, bottom-left: P, length QP: 4cm, PS: 9cm. Right rectangle: same labels, QP: 7cm, PS: ?.

O pqrs retângulos e PQRS são semelhantes. Qual é a duração do PS?

A resposta é: PS = 15,75 centímetros
Veja como resolver isso. Nós sabemos que os lados estão na mesma proporção, então:
PS pver ps = PQ over pq
Inclua os números que já sabe do esquema como este:
PS over 9 = 7 over 4
PS = (7 × 9) ÷ 4 = 63 ÷ 4 = 15,75 centímetros
Lembre-se: Tente usar a fórmula que tem o 'desconhecido' no topo da fração.

image: two four-sided shape: top-right: X, right: Y, bottom-left: Z, left: W, length WX: 8cm, XY: 4cms, corner X: 57 degrees. Right shape: same lettered labels: length WX: 9cm.

wxyz e WXYZ são figuras semelhantes. Qual é o comprimento de XY?


A resposta é 4,5 centímetros. Veja como resolver isso. Como as formas são semelhantes, podemos escrever
9 over 8 = xy over 4
xy = (4 × 9) ÷ 8 = 4,5

Qual é o tamanho do ângulo wxy ?
Lembre-se que os ângulos em números semelhantes permanecer o mesmo.Assim é de 57 °.


triângulos semelhantes

Sabemos que as duas formas são semelhantes se os seus ângulos correspondentes são iguais e seus lados correspondentes, na mesma proporção.O mesmo é verdadeiro para os triângulos semelhantes.
Para provar que dois triângulos são semelhantes, temos que mostrar que se (não todas) das seguintes afirmações é verdadeira:

1. Os três lados são na mesma proporção.
image: two triangle: left triangle: left-side: 3cm, right-side: 5cm, bottom: 4cm. Right triangle: left-side: 4.5cm, right-side: 7.5cm, bottom: 6cm.


2. Os dois lados estão na mesma proporção, e seu ângulo incluído é igual.
image: two triangles: left triangle: right-side: 5cm, bottom-right corner: 30 degree, bottom: 3cm. Right triangle: right-side: 10cm, bottom-right corner: 30 degree, bottom: 6cm
3. Os três ângulos do primeiro triângulo são iguais para os três ângulos do segundo triângulo.
image: two triangles: left triangle: top Y corner: 85 degrees, right Z corner: 40 degrees, left corner: X. Right triangle: same labels: Y: 85 degrees, X: 55 degrees.


Temos mostrado apenas dois ângulos nos triângulos acima. Se formos calcular os ângulos em falta, vemos que o ângulo é de 55 ° e ângulo é de 40 °.Portanto, todos os ângulos correspondentes são iguais.

São triângulos PQR e SQT similar? Se sim, qual das afirmações acima se aplica?

image: triangle: top corners: Q, right: T, right corner: R, left corner: P, left: S. Lengths: QT: 3cm, TR: 5cm, PS: 2cm, SQ: 4cm.
Esta questão é muito mais fácil se desenhar os triângulos separadamente.
image: two triangle: left triangle: top: Q, right: T, left: S. Lengths: QT: 3cm, SQ: 4cms. Right triangle: same labels: QR: 8cm, PQ: 6cm.


QR corresponde a QS (QR = 2 QS) e QP corresponde a QT (QP = 2 QT).Ângulo Q é a mesma em ambos os triângulos. Portanto, eles são semelhantes, pois ambos os lados estão na mesma proporção e seu ângulo incluído é igual (declaração 2).

Repare que eles são semelhantes, apesar de serem imagens 'espelho' (de tamanhos diferentes).


Pergunta
São triângulos ABC e ERP similar? Se sim, qual das afirmações acima (1, 2 ou 3) se aplica?
triangle, from clockwise directions lengths from right: labels BE:4cm, labels EC: 2cms, bottom: labels CA: 5cm. left side have two labels, AD: opposite to EC through to the top B,


Resposta

ABC e ERP são semelhantes, porque todos os ângulos correspondentes são iguais (declaração 3).


Se você encontrou esta dificuldade, lembre-se que o ângulo B é comum aos dois triângulos. As regras do estado de linhas paralelas que


(Ângulos correspondentes)


e que (Ângulos correspondentes).

congruente formas


Se duas formas são congruentes, eles são idênticos na forma e tamanho.


Lembre-se: As formas podem ser congruentes, mesmo se um deles foi girada ou refletida.


image: various shapes labelled with letters


Pergunta


Qual das formas na ilustração acima são congruentes?
O símbolo significa 'é congruente a.

Dois triângulos são congruentes se uma das seguintes condições:
1. Três lados são os mesmos

Os três lados do primeiro triângulo são iguais aos três lados do triângulo do segundo (a regra SSS: ide ide ide S S S).


Two triangles, left-side and right-side of both triangles are equal in length. Bottom lengths is of both triangles are equal in length

2. Dois lados e um ângulo são os mesmos


Dois lados do primeiro triângulo são iguais a dois lados do triângulo do segundo, e o ângulo formado é igual (a regra SAS: S Uma ide ide S ngle).

image: Two triangles, the right-side lengths of both triangles are equal to each other. The left-sides of both triangles are equal to each other. The top corner angle of both triangles equal to 80 degrees.


3. Dois ângulos e um lado são os mesmos


Dois ângulos do primeiro triângulo são iguais a dois ângulos do segundo triângulo, e um (da mesma forma localizada) do lado é igual (a regra AAS: A ngle A ide Sngle).

image: Two triangles, left-side of both triangle are equal to each other. Top corners of both triangles both equal 105 degrees.

4. Dois lados no triângulo retângulo são os mesmos


Num triângulo rectângulo, a hipotenusa e um outro lado do primeiro triângulo é igual à hipotenusa e do lado correspondente do segundo triângulo (a regra RHS: Right-angular, ypotenuse H, ide S).

image: two triangles, bottom corners of both triangles equal 90 degrees, right-side lengths of both triangle equal to each other. Left-side lengths of both triangles equal to each other.



Pergunta




Para cada um dos seguintes pares de triângulos, indicar se eles são congruentes. Se forem, dar uma razão para a sua resposta (SSS, SAS, AAS ou RHS).
1 Par
image: two triangle, top corner of left triangle is 90 degress, right side of triangle: 30mm, bottom of triangle: 58mm. Right triangle: right side: 5.8cm, left side: 3cm, bottom left corner: 90 degress
Par 2

Par 2
image: two triangles, left triangle: right-side length: 4cm, bottom length: 5.5cm, left-side length: 3cm. Right triangle: top length: 5.5cm, right-side length: 3cm, left-side: 4cm
Par 3
image: two triangles: left triangle: bottom right corner: 60 degrees, bottom length: 7cm, bottom left corner: 40 degrees. Right triangle: top left corner: 60 degrees, left length: 7cm, top right corner: 40 degrees.



áreas afins e volumes

Nós já sabemos que, se duas formas são semelhantes os seus lados correspondentes são na mesma proporção, e os seus ângulos correspondentes são iguais.
Olhe para os dois cubos abaixo:
image: two cubes: left cube: (a) is equals in lengths for width, height and depth. Right cube:(b) is equal in length for width, height and depth.
Os cubos são similares, ea razão de seus comprimentos é a: b ou a over b


Pergunta
Qual é a razão de:
  1. a área dos seus rostos?
  2. seus volumes?

Resposta
  1. Cubo 'a' tem uma área de face de um 2
    'Cubo' b tem uma área cara de b 2
    A relação de suas áreas é a 2: b 2 ou a to the power of 2 over b to the power of 2
  2. Cubo 'a' tem um volume de 3
    'Cubo' b tem um volume de b 3
    A razão dos seus volumes é um 3: b 3 ou a to the power of 3 over b to the power of 3

    Para qualquer par de formas semelhantes, o seguinte é verdadeiro:
    Proporção de comprimentos = a: b ou a over b
    Relação de áreas = a 2: b 2 ou a to the power of 2 over b to the power of 2
    Relação do volume = a 3, b 3 ou a to the power of 3 over b to the power of 3


    Pergunta
    Estas duas formas são semelhantes. Qual é o comprimento de x?
    image: two 6 sides shape (hexagon): left hexagon: area equal to 25cm squared, bottom right length:2cm. Right hexagon: area:36cm squared, bottom right length: (x)
    Resposta

    A relação entre as áreas é 25:36 (a 2: b 2)
    A relação entre o comprimento é a: b Assim, encontramos as raízes quadrada de 25 e 36. Proporção de comprimentos = 05:06
    05:06 = 2: x
    Assim 6 over 5 = x over 2
    (Multiplicar ambos os lados por 2) 12 over 5 = X
    x = 2,4 centímetros

    Agora você experimentar um.

    Pergunta Duas pirâmides semelhantes têm volumes de 64 centímetros e 343 centímetros3 3. Qual é a relação de suas áreas de superfície?




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Postado por Anna Helena às 23:46

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E8-Campo Unificado

E8 Polytope Sculpture from Matthew Fowler on Vimeo.