Engenheiros, Arquitetos, Designers, Programadores, Inventores, Curiosos..adoradores da matemática

Sabemos que na história da humanidade, os engenheiros são os fazedores de coisas, a eles damos o crédito das grandes obras. Não necessariamente só os que passam pela academia se tornam bons criadores, muitos engenheiros atualmente conseguem o seu bacharel sem aprenderam quase nada de matemática, muitos sem vocação para os cálculos, empurram o curso na velha metodologia do decoreba, esses certamente nada grandioso irão criar, faltar-lhe-ão as bases, se você é como eu que sente falta do conhecimento mais aprofundado para realizar os seus projetos, aqui é o seu lugar.

O blog foi inspirado no livro "Ensinar e estudar Matemática em Engenharia", de Jorge André.

De que Matemática particular precisam os estudantes de Engenharia? Há uma Matemática específica para engenheiros? O que tem de especial o ensino da Matemática para estudantes de Engenharia?

Não existe Engenharia sem Matemática, e a boa preparação matemática ajuda muito o futuro engenheiro de concepção, de projeto, de desenvolvimento, de inovação, de investigação.

Não se constroe e nem se cria nada sem a matemática, nem mesmo uma costureira é capaz de fazer uma roupa sem antes fazer um cálculo, embora usando uma metodologia mais simples, uma boa costureiranecessita conhecer bastante de geometria para criar um molde bem alinhado as formas do corpo proporcionando o bom caimento do tecido, é uma geometria altamente complexa que envolve cônicas, engenharia de superfícies curvas,a mesma lógica para construir um prédio, uma antena, tem que calcular, medir..claro que tem variáveis a mais como o vento, a resistência do concreto, etc..a roupa precisa apenas vestir bem. Os primeiros alfaiates certamente eram bons matemáticos, assim como os bons pintores e escultores antigos.

Você sabe qual o papel da Matemática na formação educacional de um futuro engenheiro? Poucos tem a compreensão lúcida e informada da natureza da Matemática como ciência do pensamento rigoroso, e da forma por que ela se aplica, bem como das diversas modalidades da ação

Uma das principais “forças” da Matemática está em que as suas ideias e ferramentas são gerais, e muito do poder da Matemática, mesmo da elementar, vem-lhe precisamente da aplicabilidade de ideias gerais em vários contextos diferentes.

O rigor do pensamento matemático tende a ir ao fundo de tudo, mas no ensino da Engenharia não há tempo para isso, nem a motivação dos estudantes será em geral suficiente para grandes aprofundamentos.

No livro o autor faz análises sobre a “simbiose formativa” da Matemática com a Física e a Engenharia, e sobre a capacidade de dar “saltos lógicos” como pré-requisito essencial na modelação de fenómenos naturais e na posterior aplicação prática dos resultados do respectivo tratamento matemático.

Trata-se de uma obra de reflexão crítica original e profunda sobre um tema de capital importância para o futuro da Engenharia, num país que pretende manter-se tecnologicamente atualizado e com os recursos humanos indispensáveis à sua modernização.

Os problemas diferentes exigem tipos diferentes de conhecimento e perícia em engenharia e tecnologia.

O Brasil não tem patentes, embora a população seja extremamente criativa, empreendedora, mas falta-lhe mais conhecimento lógico- matemático, a medida que avançamos na educação poderemos fazer as transformações necessárias para o desenvolvimento.

segunda-feira, 9 de maio de 2011

Transformações


Uma coisa que me deixa muito estressada é a quantidade de transformações que existe na matemática, é preciso paciência para entender uma a uma e saber aplicar de forma correta. Posso nunca usar todas, mas não me custa nada tentar sistematizar, é interessante como as grandezas se comunicam na  matemática.

Uma pista dos motivos que foram criadas tantas transformações: Para explicar a matéria, a fonte de toda criação. Por isso temos o modelo matemático mais perfeito já criado pelo homem. As transformações são essenciais na engenharia, elas são o conhecimento matemático para a manipulação da energia.


Uma coisa que me deixa muito estressada é a quantidade de transformações que existe na matemática, é preciso paciência para entender uma a uma e saber aplicar de forma correta. Posso nunca usar todas, mas não me custa nada tentar sistematizar, é interessante como as grandezas se comunicam na  matemática.

Uma pista dos motivos que foram criadas tantas transformações: Para explicar a matéria, a fonte de toda criação. Por isso temos o modelo matemático mais perfeito já criado pelo homem. As transformações são essenciais na engenharia, elas são o conhecimento matemático para a manipulação da energia.

Vamos exercitar a lógica, cliquem no diagrama para estudar as interações.


















Cosmologia é definida como o estudo da estrutura e dinâmica do universo. 

Astrofísica de Partículas é o estudo de como os menores pedaços de matéria interagem em grande escala do universo. 

Um dos maiores mistérios que assola estes dois campos de estudo é a natureza da matéria escura

Há fortes evidências de que o universo visível para nós é de apenas 10% da massa total do universo, em outras palavras, 90% da massa do universo é invisível para nós. 

Atualmente a única maneira de detectar esta matéria escura é chamada por seus efeitos gravitacionais sobre a matéria visível.

 Esta imagem abaixo mostra como a luz de galáxias distantes sofre lente gravitacional de um grande conjunto de galáxias chamado Abell 2218, que está perto de nós. Neste caso nós sabemos o que está causando o efeito de lente, mas a matéria escura também pode causar este efeito se o assunto é massiva o suficiente.

Hubble image of gravitational lensing around Abell 2218


Uma teoria para que a matéria escura pode ser um tipo de partícula hipotética chamada partícula de interação fraca maciça, ou WIMP. A teoria prevê que WIMPs podem interagir e aniquilar o outro, produzindo raios gama, com níveis específicos de energia no processo. Se a teoria estiver correta, então o telescópio Fermi seria capaz de observar esta radiação de eventos de aniquilação no halo galáctico, ajudando a desvendar o mistério da matéria escura..

Outra questão de Fermi de abordar é a isotrópica (em todos os sentidos) de alta energia de fundo de radiação de raios-gama detectada por EGRET . Ele é suspeito de ser extragaláctica de origem e muito desta radiação de fundo, provavelmente, ser resolvida por Fermi em AGNs individual. A outra possibilidade é que a radiação de fundo é verdadeiramente difuso e um resto de um evento no início do universo.

Luz - O que é a luz?



The Electronmagnetic Spectrum




O que chamamos de luz é realmente apenas uma pequena fração da ampla gama do espectro de radiação eletromagnética. 

Todo o período se estende de muito baixa energia de ondas de rádio por microondas, radiação infravermelha, luz visível, ultravioleta, raios-X e, finalmente, a muito raios gama de alta energia. 

Os processos de produção de fótons (partículas de radiação eletromagnética único) de cada tipo de radiação diferente, assim como sua energia, mas todas as diferentes formas de radiação emitida ainda são apenas uma parte da família do espectro eletromagnético. 

A única diferença real entre um fóton de raios gama e um fóton de luz visível é a energia. Os raios gama pode ter mais de um bilhão de vezes a energia dos seguintes: tipo de luz visível aos nossos olhos.




Energia
Quando dois sistemas físicos interagem entre si, mudanças nos dois sistemas ocorrem. A interação entre sistemas físicos naturais dá-se, em acordo com os resultados empíricos, sempre de forma muito regular, sendo uma mudança específica em um deles sempre acompanhada de uma mudança muito específica no outro, embora estas mudanças possam certamente ser de naturezas muito ou mesmo completamente distintas.

Regularidades observadas na natureza expressam-se dentro da ciência mediante o estabelecimento das denominadas leis científicas.

No que se refere à forma com que dois entes físicos interagem entre si, na busca da correta correlação entre as mudanças observadas nos sistemas viu-se a necessidade de estabelecer-se, para o correto cumprimento da tarefa, não apenas uma mas duas grandezas físicas primárias independentes, cada qual associada à uma lei de conservação própria, leis estas inerentes atodos os sistemas físicos e que combinadas, permitem a correta descrição dos mesmos.

Tais grandezas físicas são denominadas energia e momento, e as leis científicas que as governam denominam-se respectivamente lei da conservação da energia e a lei da conservação do momento linear.

Ao passo que o momento é uma grandeza vetorial, a sua contra-parte aqui descrita é uma grandeza escalar.

À relação existente entre a energia e o momento de um dado ente físico dá-se o nome de relação de dispersão, sendo esta vital no contexto de qualquer teoria para a dinâmica da matéria e energia (mecânica clássica, relatividade, mecânica quântica, etc.). 

Para partículas massivas, a energia depende do quadrado do momento ; para fótons a energia mostra-se diretamente proporcional ao momento por este transportado . Grandezas físicas importantes são definidas a partir da relação de dispersão apresentada por um dado ente, a exemplo a massa

Como as transformações observadas em um sistema têm naturezas as mais diversas, a exemplo indo desde uma simples mudança nas velocidades das partículas do sistema até um rearranjo completo das posições espaciais de partículas interagentes uma em relação às outras  e mesmo de um sistema inteiro em relação ao outro, para cada transformação define-se a forma de se determinar o valor da grandeza energia a ela associada, fazendo-se esta definição sempre de forma que as mudanças observadas neste caso sejam descritas por uma variação de energia igual em módulo ao determinado para as variações de energia associadas a todas as outras mudanças relacionadas, e de forma a garantir-se que a energia total dos sistemas em interação sempre se conserve.

À energia associada ao movimento dos corpos ou partículas dá-se o nome de energia cinética, e mostra-se que esta deve ser determinada, em casos abrangidos pela física clássica, através da expressão: .

À energia associada a entes físicos mutuamente interagentes em virtude exclusiva das posições espaciais que ocupam um em relação aos outros dá-se o nome de energia potencial. A forma de calculá-la é determinada em acordo com a natureza da interação entre os mesmos.

 Quando a interação é, a citar-se a interação entre o satélite e a terra como exemplo, de natureza gravitacional, a energia potencial associada recebe o nome de energia potencial gravitacional, e neste caso é adequadamente calculada através da expressão: , onde G é a constante de gravitação universal, h a altura do satélite, RT o raio da Terra, m a massa do satélite e MT a massa da Terra.

Repare a dependência explicita da energia com a posição do satélite relativa à Terra, adequadamente representada pela distância (RT+h) do satélite ao centro do planeta, e com as massas da Terra e do satélite, refletindo o fato de tratar-se de uma interação de natureza gravitacional (onde massa atrai massa). 

Se a natureza for elétrica, tem-se a energia potencial elétrica; se for elástica (lei de Hooke) tem-se a energia potencial elástica, e assim por diante, definindo-se sempre uma forma adequada de se calcular a energia associada de forma a ter-se sempre a lei da conservação da energia válida, qualquer que sejam as naturezas das mudanças relacionadas ou os sistemas em interação.

No contexto de interação entre sistemas é vital falar-se sobre uma entidade física amplamente encontrada ao abordar-se o assunto, principalmente quando o tema é energia potencial: o campo

Inicialmente introduzido por Michael Faraday na Física, este surge como uma mera simplificação matemática junto a solução de problemas práticos, mas com o avanço da tecnologia, verificou-se que o campo é em verdade mais do que isto, vindo nos paradigmas modernos a ganhar o posto de ente físico real.

O fato empírico que leva à necessidade do conceito de campo mediando a interação entre sistemas é o de que, para um observador externo aos sistemas que interagem, uma mudança em um sistema nem sempre é imediatamente acompanhada pela correspondente mudança no outro sistema.

 Há um lapso de tempo experimentalmente verificável e mensurável entre as duas mudanças que obriga a uma revisão do conceito de ação à distância que vigorou nas primeiras teorias sobre as interações entre os entes físicos, à exemplo na Gravitação universal de Newton. 

Se a energia liga-se diretamente à mudanças observadas no sistema, é evidente que a energia do primeiro sistema diminui antes que a energia no segundo sistema aumente, o que em princípio violaria durante este lapso de tempo a lei da conservação da energia. 

Os resultados dos experimentos modernos demonstram entretanto que esta energia está literalmente a propagar-se pelo espaço entre os dois sistemas, estando esta associada ao campo físico responsável pela interação entre eles.

 A velocidade na qual esta energia se propaga no vácuo é em verdade, qualquer que seja o referencial (inercial) adotado, a maior velocidade admissível pela natureza para qualquer ente físico, sendo essa conhecida na física pela letra c

Nos dias de hoje o valor dessa velocidade é exatamente definido, valendo c = 299 792 458 metros por segundo, sendo as definições de metro e segundo dela então derivadas.

Em acordo com o paradigma moderno tem-se portanto que energia pura pode propagar-se pelo espaço na forma de um campo, existindo como um ente físico real.

Entre estes campos certamente o destaque é para o campo eletromagnético, que expressa a interação eletromagnética entre partículas eletricamente carregadas. 

A esta energia pura propagando-se dá-se o nome de radiação eletromagnética. 

luz é uma onda eletromagnética, e como tal pode ser entendida como energia pura em movimento. 

Ao passo que a existência das ondas eletromagnéticas encontra-se bem estabelecida, os cientistas ainda procuram observar ondas de campos associados à interações de outras naturezas; a saber há considerável pesquisa em busca da onda gravitacional.



Massa

Com o desenvolvimento da física moderna verficou-se, a partir dos resultados oriundos tanto da física quântica quanto da física relativística, que massa e energia são intercambiáveis, podendo ser convertidas uma na outra mediante processos físicos hoje bem-estabelecidos.


A equivalência entre energia e massa é expressa através da mundialmente conhecida equação E=mC2, proposta por Einstein ainda quando da publicação da relatividade especial.


A conversão de massa em energia encontra-se diretamente ligada à energia nuclear, pois em reações nucleares altamente exoenergéticas, como a fissão do urânio ou a fusão do hidrogênio, verifica-se que a soma das massas dos produtos formados é menor do que a soma das massas dos reagentes, sendo a diferença inteiramente convertida em energia e liberada no processo. 


Processo que envolvem a criação de pares, como o que dá origem a um pósitron e a um elétron a partir de energia pura (energia radiante), ou a aniquilação destes, com a liberação da energia associada, são muito comuns em física de partículas 


Fatos experimentais que explicitam a conversão de massa em energia e energia em massa como processos naturais trazem à tona um problema com duas leis de conservação encontradas no âmbito da mecânica clássica de formas completamente separadas: a lei da conservação de massas e a lei da conservação da energia (em sua forma clássica). Certamente a conversão entre massa em energia leva à violação de tais leis. 


Contudo ressalta-se que no mundo clássico, aquele acessível aos nossos sentidos, no qual nos preocupamos com as reações químicas mas não com as nucleares, a quantidade de massa que converte-se em energia ou vice-versa é imperceptível aos melhores equipamentos: no mundo clássico massa e energia se conservam de fora separada.


Em física de altas energias, contudo, não há lei de conservação de massa. Há apenas lei da conservação da energia em sua forma abrangente, e a massa figura nesta lei mediante a famosa equação de Einstein, sendo tratada como uma forma de energia. A relação entre massa e energia encontra-se evidente na relatividade aos considerarmos a expressão: "A energia tem inércia". 


Decorre que ao aumentar-se a energia de um sistema, aumenta-se também a sua inércia ao responder a forças aplicadas, ou seja, a sua massa. Repare que não há a necessidade explícita de conversão de energia em massa de repouso, e dizer que a massa aumentou não significa necessariamente que matéria surgiu dentro do sistema. Há assim uma clara distinção entre massa e massa de repouso.


A massa de repouso de uma partícula em velocidade próxima à da luz, digamos, a de um elétron, continua a mesma, mas ao se tentar aumentar a velocidade deste, digamos, em um cíclotron, verifica-se que este se comporta como se tivesse uma massa muito maior do que a sua massa de repouso.


Quanto mais próximo este encontrar-se da velocidade da luz, maior será sua inércia, ou seja, sua massa, pois também maior é a sua energia cinética (aqui, necessariamente relativística), e o que é mais importante, maior será a quantidade de energia a ser acrescida para que este apresente uma mesma variação de velocidade. No limite em que este se move praticamente à velocidade da luz, sua massa é infinitamente grande, e uma quantidade de energia infinita teria que ser-lhe acrescida para fazê-lo finalmente chegar à velocidade da luz.

Energia Radiante

Trata-se de energia pura propagando-se pelo espaço em forma de ondas associadas a um campo. É, em vista do paradigma moderno, a energia diretamente associada à radiação eletromagnética: à luz, às ondas de rádio, aos raios infravermelhos, aos raios X, e outras.

A energia radiante atravessa perfeitamente o vácuo: a quase totalidade de energia que recebemos do sol chega até nós na forma de energia radiante distribuída em uma larga faixa de frequências, faixa esta que inclui a faixa do visível na região de maior densidade de energia, com as diversas cores (violeta, azul, verde, amarelo, laranja, vermelho) que conseguimos enxergar sendo particularmente intensas no espectro solar

Contudo o homem não se restringiu a usar apenas os olhos para vasculhar o cosmo; radiotelescópios observam o cosmos em comprimentos de onda que não podemos ver, indo desde as ondas de rádio até os raios X e mesmo raios cósmicos.

As ondas eletromagnéticas são uma combinação de campos magnético e elétricos ortogonais variáveis que sustentam-se mutuamente mediante da lei da indução de Faraday e a Lei de Ampère em sua forma generalizada por Maxwell, possuindo, uma vez produzidas, existências independentes das cargas aceleradas que a geraram.

 Ressalta-se que "cargas estáticas e cargas em movimento com velocidade (vetorial) constante não irradiam. Cargas aceleradas irradiam.".

Observe que, embora não irradiem ondas eletromagnéticas, cargas elétricas estáticas e cargas em movimento não acelerado possuem seus campos elétricos e no último caso também magnéticos associados, e nestes campos há energia armazenada. Contudo estes campos e estas energias estão "presos" à carga, e não propagando-se livremente pelo espaço, como ocorre com a energia nas ondas eletromagnéticas. 

Aos campos das cargas nestas condições associam-se a energia potencial elétrica e a "energia magnética" antes referida no subtópico "Cargas elétricas em movimento" dentro do "Energia cinética" deste artigo.

A energia transportada em uma onda eletromagnética é removida da carga acelerada mediante um fenômeno conhecido por reação à radiação (fórmula de Larmor).

Ondas eletromagnéticas não transportam apenas energia; transportam também momento. 

O fluxo de energia em uma onda eletromagnética é descrito pelo vetor de Poynting , cuja direção é perpendicular ao plano estabelecido pelos vetores campo elétrico e campo magnético , sendo obtido por:



onde μ0 representa a permeabilidade magnética do vácuo e "X" representa o produto vetorial.


Cargas elétricas em movimento

Quando cargas elétricas são colocadas em movimento de forma a estabelecer uma corrente elétrica, esta produz ao seu redor um campo magnético

Correntes constantes mantém o campo constante, e há uma energia associada a este campo, podendo esta ser chamada de energia magnética. 

A energia magnética não pode ser descrita através de uma "energia potencial magnética" conforme ocorre para o caso da energia elétrica porque o campo magnético não é um campo conservativo. Mesmo o processo de variação da energia magnética envolve um processo elétrico - o princípio da indução eletromagnética -, não havendo mecanismos unicamente magnéticos capazes de descrevê-lo.

Conclui-se que uma partícula carregada em movimento possui uma quantidade de energia extra armazenada no campo magnético e não apenas a energia cinética associada à sua massa em movimento.

O leitor é remetido ao estudo da magnetostática e do eletromagnetismo para maiores detalhes



Energia potencial

É a energia que um objeto possui em virtude da posição relativa que encontra-se dentro do sistema. Um martelo levantado, uma mola comprimida ou esticada ou um arco tensionado de um atirador, todos possuem energia potencial
Esta energia está pronta para ser transformada em outras formas de energia e será transformada, mediante a realização de trabalho, tão logo a configuração espacial do sistema que contém a energia potencial mude: quando o martelo cair, pregará um prego; a mola, quando solta, fará andar os ponteiros de um relógio; o arco disparará uma flecha. 

Assim que ocorrer algum movimento, a energia potencial da fonte diminui, enquanto se transforma nos casos citados em energia de movimento (energia cinética). Ao contrário, levantar o martelo, comprimir a mola e esticar o arco são processos onde a energia cinética transforma-se em energia potencial.
Normalmente atribui-se a energia potencial ao objeto que ocupa uma dada posição dentro do sistema ao qual pertence, como feito anteriormente. Ressalva-se explicitamente entretanto que a energia não pertence exclusivamente ao objeto como parece à primeira vista. Esta encontra-se em verdade armazenada no sistema como um todo, composto pelo objeto e suas demais partes.

 Muitas vezes não faz-se referência explícita ao resto do sistema, mas este sempre figura, se não de forma explicita, pelo menos adequadamente substituído por um campo bem determinado, que responde pela interação do objeto com o sistema em questão, mesmo que o faça de forma implícita. Fala-se assim da energia potencial gravitacional de um avião - no campo de gravidade da Terra -, de energia potencial de um elétron - no campo elétrico gerado pelos pólos de uma bateria -, e assim por diante.
Uma consideração importante sobre a energia potencial refere-se à sua medida. Não se determina fisicamente o valor absoluto da energia potencial de um sistema em uma dada configuração, mesmo porque isto não faria muito sentido. O que é fisicamente mensurável é a variação da energia potencial observada quando o sistema muda sua configuração, indo de um estado inicial para um estado final. 

Nestes termos é usual atribuir-se uma energia potencial nula (zero) para o sistema em uma dada configuração espacial inicialmente especificada, e então medir-se a energia potencial de qualquer outra configuração do sistema em relação a este estado de referência, sendo a energia potencial de uma configuração qualquer igual à energia que teve que ser transferida ao sistema para levá-lo do estado de referência até esta configuração final, mantidas as energias cinéticas associadas às partes integrantes do sistema constantes de forma que toda a energia entregue ao sistema seja inteiramente armazenada na forma de energia potencial.
A energia potencial é assim dependente de um referencial a se escolher no início do problema - e que deve ser mantido durante todo o problema sobre risco de obter-se uma solução incorreta.
 A energia potencial de uma lâmpada em relação ao piso de um apartamento de cobertura é certamente diferente da energia potencial da mesma lâmpada se a referência adotada for o solo, em nível do andar térreo.
No cotidiano encontram-se presentes diversos tipos de energia potencial, dos quais se destacam: a elástica, a gravitacional e a elétrica.


Energia Elétrica
A chamada energia elétrica nada mais é do que a energia potencial elétrica associada a um sistema onde uma determinada carga elétricaencontra-se situada não em um condutor elétrico de referência - onde define-se a energia potencial desta como sendo nula - mas em um segundo condutor de eletricidade que geralmente acompanha o primeiro mas encontra-se deste isolado


Esta carga, ao passar do fio onde se encontra para o fio de referência libera a energia potencial a ela associada, sendo esta convertida em energia térmica (em um chuveiro, via efeito joule), energia radiante (em um forno microondas), energia cinética (em um motor), ou outra forma de energia qualquer no interior do componente que permitiu sua passagem de um fio a outro. Explica-se assim porque as tomadas de energia têm sempre no mínimo dois fios.
Análise detalhada deste sistema leva-nos diretamente ao conceito de energia potencial elétrica e a uma área de estudos específica dentro da física: a análise de circuitos, esta sempre presente mesmo nos piores cursos de eletrônica. O leitor é remetido para maiores detalhes.  http://pt.wikipedia.org/wiki/Energia

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